Se perustettiin loppuvuodesta 1987 Argus Press Softwaren raunioista entisen Arguksen toimitusjohtajan Stephen Hallin ja hänen läheisen ystävänsä David C. Dudmanin toimesta. Grandslam kehitti ja julkaisi monia pelejä kotitietokoneille 1980- ja 1990-luvuilla. Alun perin yhtiö sijaitsi Lontoon keskustassa, mutta toimistot siirrettiin Croydoniin vuonna 1990.